অনুশীলন ১ বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ১। ৩ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠনে — i. ম্যাজিক সংখ্যা হবে ১৫ ii. কেন্দ্রে ছোট বর্গক্ষেত্রে সংখ্যাটি হবে ৫ iii. ক্ষুদ্র বর্গক্ষেত্রগুলোতে ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা বসানো থাকে নিচের কোনটি সঠিক ? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii ২ । নিচের কোন ফলাফলটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা? ক) ৫২+২৫ খ) ৫২৭+৭২৫ গ) ৪১২+২৩৪ ঘ) ৭৫-৫৭ ৩ । ৯৯৯৯ কোন বীজগণিতীয় রাশির শততম পদ? ক) ৯৯ক+১ খ) ৯৯ক – ১ গ) ক২ +১ ঘ) ক২ – ১ ৪ । 'ক' সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত? ক) ক খ) ২ক – ১ গ) ক২ ঘ) ২ক+১ ৫। ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যাকে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় ? ক) ১০টি খ) ২০টি গ) ৩৫টি ঘ) ৫০টি নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও: ১২ ১৯ ১৪ ১৭ ক ১৮ ১৬ ১১ ১৮ একটি ম্যাজিক বর্গ ৬। 'ক' চিহ্নিত স্থানে উপযুক্ত সংখ্যাটি কত? ক) ৪৫ খ) ২০ গ) ১৫ ঘ) ৩ ৭ । ম্যাজিক বর্গটির ম্যাজিক সংখ্যা কত? ক) ১৫ খ) ৩৪ গ) ৩৫ ঘ) ৪৫ ৮ । প্রথম তিনটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল একটি- i. পূর্ণবর্গ সংখ্যা ii. বিজোড় সংখ্যা iii. মৌলিক সংখ্যা নিচের কোনটি সঠিক? ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i,ii ও iii ৯। তালিকার পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য বের কর এবং পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর। ক) ৭, ১২, ১৭, ২২, ২৭, .... সমাধানঃ দেওয়া আছে, তালিকার সংখ্যাগুলো: পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য যেহেতু পরবর্তী সংখ্যাটি পূর্ববর্তী সংখ্যা হতে ৫ করে বৃদ্ধি পায়, সুতরাং তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হলো — ২৭ + ৫ = ৩২, ৩২ + ৫ = ৩৭, তালিকার পরবর্তী ২টি সংখ্যা হলো — ৩২, ৩৭ (উত্তর) খ) ৬, ১৭, ২৮, ৩৯, ৫০, .... সমাধানঃ দেওয়া আছে, তালিকার সংখ্যাগুলো: পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য যেহেতু পরবর্তী সংখ্যাটি পূর্ববর্তী সংখ্যা হতে ১১ করে বৃদ্ধি পায়, সুতরাং তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হলো — ৫০ + ১১ = ৬১, ৬১ + ১১ = ৭২, তালিকার পরবর্তী ২টি সংখ্যা হলো — ৬১, ৭২ (উত্তর) ১০। নিচের সংখ্যা প্যাটার্নগুলোর মধ্যে কোনো মিল রয়েছে কি? প্রতিটি তালিকার পরবর্তী সংখ্যা নির্ণয় কর। ক) ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, .... সমাধানঃ (ক) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটি: ১. ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, …. (খ) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটি: ৪, ৪, ৫, ৬, ৮, ১১, …. এখানে, ১ম পদ = ৪ = ১ + ৩; ২য় পদ = ৪ = ১ + ৩; ৩য় পদ = ৫ = ২ + ৩; ৪র্থ পদ = ৬ = ৩ + ৩; ৫ম পদ = ৮ = ৫ + ৩; ৬ষ্ঠ পদ = ১১ = ৮ + ৩; দেখা যাচ্ছে, (খ) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রতিটি পদ, ক্রমানুসারে (ক্) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির প্রতিটি পদ অপেক্ষা ৩ বেশি । সুতরাং সংখ্যা প্যাটার্নগুলোর মধ্যে মিল বিদ্যমান। (উত্তর) খ) ৪, ৪, ৫, ৬, ৮, ১১, …. সমাধানঃ (খ) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির পরবর্তী পদ অর্থাৎ ৭ম পদ = (ক) এ বর্ণিত প্যাটার্নটির ৭ম পদ + ৩ = ১৩ + ৩ = ১৬ (উত্তর) আবার, (ক) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির ৩য়) পদ থেকে প্রতিটি পদের মান, তার পূর্ববর্তী দুইটি পদের সমষ্টির সমান । ∴ (ক) এ বর্ণিত সংখ্যা প্যাটার্নটির পরবর্তী পদ অর্থাৎ ৮ম পদ = ৮ + (১৩) ২১ (উত্তর) ১১। নিচের জ্যামিতিক চিত্রগুলো কাঠি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে । ক) কাঠির সংখ্যার তালিকা কর । সমাধানঃ কাঠির সংখ্যার তালিকা নিম্নরূপঃ চিত্র ১ম ২য় ৩য় কাঠি ৪ ৭ ১০ ১ম, ২য় ও ৩য় চিত্রটিতে যথাক্রমে ৪, ৭ ও ১০টি কাঠি আছে। খ) তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর । সমাধানঃ কাঠির সংখ্যাগুলোর দিকে লক্ষ করলে পাই, কাঠির সংখ্যা প্রতিবার ৩টি করে বাড়ছে। সুতরাং ৩ যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। ∴ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে (১০ + ৩) = ১৩। গ) কাঠি দিয়ে পরবর্তী চিত্রটি তৈরি কর এবং তোমার উত্তর যাচাই কর । সমাধানঃ পরবর্তী চিত্রটি হবে - এখানে কাঠির সংখ্যা ১৩ টি। আবার 'খ' হতে পাই, তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হবে ১৩। ∴ উত্তরের সত্যতা যাচাই হলো । ১২। দিয়াশলাইয়ের কাঠি দিয়ে নিচের ত্রিভুজগুলোর প্যাটার্ন তৈরি করা হয়েছে । ক) চতুর্থ চিত্রে দিয়াশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা বের কর । সমাধানঃ চতুর্থ প্যাটার্নে ৪টি ত্রিভুজ থাকবে। অর্থাৎ ∴ চতুর্থ প্যাটার্নে দিয়াশলাইয়ের মোট কাঠির সংখ্যা ৯টি। (উত্তর) খ) প্যাটার্নটির পরবর্তী সংখ্যাটি কীভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর । সমাধানঃ এখানে, ১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা ৩টি ২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা ৫টি ৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা ৭টি প্রতিবার কাঠির সংখ্যা (২ক + ১) আকারের হয়। অতএব, ক এর মান ৪ বসিয়ে পরবর্তী সংখ্যাটি বের করতে হবে। গ) শততম প্যাটার্ন তৈরিতে কতগুলো দিয়াশলাইয়ের কাঠির প্রয়োজন ? সমাধানঃ শততম প্যাটার্ন তৈরিতে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা (২ক + ১) = (২ x ১০০ + ১)টি = (২০০ + ১)টি = ২০১টি (উত্তর) ১৩। ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭,... ক) ২৯ ও ৩৭ কে দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর । সমাধানঃ ২৯ ও ৩৭ কে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা হলো: ২৯ = ২৫ + ৪ = ৫২ + ২২ ৩৭ = ৩৬ + ১ = ৬২ + ১২ খ) তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা নির্ণয় কর। সমাধানঃ দেওয়া আছে, তালিকার সংখ্যাগুলো: পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার পার্থক্য যেহেতু পরবর্তী সংখ্যাটি পূর্ববর্তী সংখ্যা হতে ৮ করে বৃদ্ধি পায়, সুতরাং তালিকার পরবর্তী সংখ্যা হলো — ৩৭ + ৮ = ৪৫, ৪৫ + ৮ = ৫৩, ৫৩ + ৮ = ৬১, ৬১ + ৮ = ৬৯ তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা হলো — ৪৫, ৫৩, ৬১, ৬৯ (উত্তর) গ) তালিকার প্রথম ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর। সমাধানঃ এখানে, প্রথম সংখ্যা = ৫ = (৮ × ১) – ৩ ২য় সংখ্যা = ১৩ = (৮ × ২) – ৩ ৩য় সংখ্যা = ২১ = (৮ × ৩) – ৪ দেখা যাচ্ছে প্রতিবার সংখ্যাগুলো (৮ক – ৩) আকারে পাওয়া যাচ্ছে। ∴ ৫০ তম সংখ্যা = (৮ x ৫০) – 3 = ৪০০ – ৩ = ৩৯৭ এবং পদসংখ্যা = ৫০ ∴ সমষ্টি = (প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা ) × পদ সংখ্যা২ = (৫ + ৩৯৭) × ৫০২ = ৪০২ × ২৫ = ১০০৫০ (উত্তর)